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Fractales 3D
Mandelbulb & Mandelbox ... Plein les mirettes !!!

jeudi 9 septembre 2010, par rocbo

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Fractales 3D

Pour la science sept 2010La revue Pour la science de septembre 2010 nous a concocté un article sur Les fractales 3D, À la conquête d’un monde virtuel

La figure fractale bidimensionnelle la plus célèbre est l’« ensemble de Mandelbrot ». Pour visualiser des fractales 2D, il suffit de faire une itération pour chaque pixel de l’image. Si le point s’éloigne de l’origine il sera en dehors de l’ensemble et il reste à décider quelle couleur on donnera à ce pixel (bien que l’on puisse décider : pixels « en dehors » = blanc, pixels « dedans » = noir). On déclare un pixel comme « en dehors » si son module devient plus grand qu’un nombre qu’on a choisi à l’avance.

C’est en 1978 que Benoît Mandelbrot a mis en lumière l’ensemble qui porte aujourd’hui son nom. Depuis, des millions d’heures de calcul ont été investi pour produire des images de plus en plus belles de cet ensemble.

Benoît Mandelbrot : Fractales (2D)

Pourtant, d’après des définitions plus rigoureuses, cette figure n’est pas une fractale. Il lui manque en effet une propriété, l’autosimilarité. Si l’on observe, par agrandissements successifs, une région de la frontière, on ne découvre pas tout à fait les mêmes structures, mais toujours et encore de nouvelles structures.

En existe-t-il un équivalent tridimensionnel ?

Tétrabrot de RochonDes structures étonnantes, récemment créées par ordinateur, s’en rapprochent.

D’habitude, les mathématiciens s’empressent de généraliser tout résultat obtenu en dimension deux aux dimensions trois, quatre ... Mais dans le cas de l’ensemble de Mandelbrot, le succès n’était pas au rendez-vous. Cela ne tient pas au fait que les fractales en général seraient limitées à deux dimensions. Au contraire, Mandelbrot lui-même s’est rendu célèbre en faisant remarquer l’existence de fractales tridimensionnelles partout dans la nature, qu’il s’agisse du chou romanesco ou des côtes de la Bretagne.

Le Tétrabrot de Dominic Rochon
Il rappelle un cristal de bismuth avec ses étranges structures angulaires et rectangulaires. En effectuant une coupe oblique dans le Tétrabrot (image ci-contre), on retrouve les structures habituelles de l’ensemble de Mandelbrot.

Le Mandelbulb
C’est un ensemble de Mandelbrot volumique.
L’idée de sa réalisation occupe les esprits depuis 2007, mais fin 2009, Daniel White et Paul Nylander ont construit un Mandelbulb, un analogue en dimension 3 de l’ensemble de Mandelbrot, à l’aide d’une algèbre de nombres hypercomplexes et de transformations écrites en coordonnées sphériques.
- (1) Vue de dessus, il présente une symétrie rotationnelle d’ordre 7 (symétrie par rapport à une rotation d’un septième de tour).
- (2) On trouve approximativemenrt une symétrie rotationnelle d’ordre 8 dans les « fleurs » qui poussent partout.
- (3) Chaque agrandissement d’une partie de ia frontière fait apparaître de nouveaux détails.
- (4) Si on réalise une coupe, on retrouve les configurations classiques d’un ensemble de Madelbrot.

Mandelbox
Le mandelbox
C’est un objet fractal découvert par Tom Lowe en 2010. Nommé Mandelbox parce que les structures sont incluses dans un volume cubique. Il est défini de manière similaire à l’ensemble de Mandelbrot. Il s’agit de l’ensemble des points de l’espace ne divergeant pas après itération infinie d’une double transformation de pliage de l’espace. Il peut être défini dans tout type de dimensions, la version 3D étant la pus populaire.

 


Nylander : ensemble de JuliaEnsemble de Julia
Paul Nylander a calculé cet ensemble de Julia dans l’espace de dimension quatre constitué par les couples de nombres complexes de Dominic Rochon. Trois des quatre coordonnées de chaque point de l’ensemble de Julia sont figurées ; la quatrième coordonnée est représentée par la couleur.

 

 

 

Exemples de fractales naturelles

Cristal de bismuth et le chou romanesco

---oo00OO00oo---

Article sérieusement inspiré de Pour la science et de Wikipédia

 

Liens
- Ensemble de Mandelbrot chez wikipedia
- Ensemble de Julia chez wikipedia
- Dimension de Hausdorff chez wikipedia
- Hypercomplex Fractals
- Mandelbulb chez wikipedia
- Mandelbox chez wikipedia
- Pour la science
Liens images
- Mandelbulb
- The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal
- Mandelbox
- Le Tétrabrot
- The Eternal Dream
Liens personnages
- Benoît Mandelbrot chez wikipedia
- Gaston Julia chez wikipedia
- Felix Hausdorff chez wikipedia
- Dominic Rochon
Lien forum
- fractalforums.com/
Liens vidéos
- Mandelbulb sur TouTube
- Mandelbox sur TouTube
Lien application
- Mandelbulber

 



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4 contribution(s).

ABSOLIENS : nouveaux nombres complexes généralisés ?, par Yannis PICART
Décès de Benoît Mandelbrot, par rocbo
Fractales 3D, par Dominic Rochon




ABSOLIENS : nouveaux nombres complexes généralisés ?
10 juillet 2012, par Yannis PICART   [retour au début des forums]

Dans le prolongement, je propose mes nouveaux (j’espère) nombres "ABSOLIENS" qui sont une généralisation assez naturelle des nombres complexes à toute dimension, associatifs et commutatifs pour la 2eme loi et qui fournissent des fractales 3D originales :

Je serai honoré de votre visite sur mon site et de votre avis :

https://sites.google.com/site/yannispicart/

Décès de Benoît Mandelbrot
17 octobre 2010, par rocbo   [retour au début des forums]

AFP 16/10/2010

Le mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot est décédé avant-hier à Cambridge (Massachusetts, nord-est des Etats-Unis), des suites d’un cancer à l’âge de 85 ans, a indiqué aujourd’hui le New York Times.

Né à Varsovie en 1924, dans une famille juive d’origine lituanienne, il a fui la menace nazie pour se réfugier en France avec sa famille, avant de s’installer aux Etats-Unis après la Seconde Guerre mondiale.

Avec une approche considérée par ses pairs comme en marge des mathématiques conventionnelles, Benoît Mandelbrot a développé les objets fractals, une nouvelle classe d’objets mathématiques. Il publie ainsi en 1973 "Les Objets fractals : forme, hasard, et dimension". Puis d’autres ouvrages sur la question.

La géométrie fractale qu’il a développé avait pour objet de mesurer des phénomènes naturels comme les nuages ou les lignes côtières que l’on pensait non-mesurables. Il a appliqué cette théorie à la biologie, la finance, la science physique ainsi que d’autres domaines.

Ancien élève de l’école Polytechnique de Paris, Benoît Mandelbrot était professeur émérite à l’Université de Yale (Connecticut, nord-est des États-Unis). Avant de rejoindre le centre de recherche d’IBM aux États-Unis en 1958, Benoît Mandelbrot avait travaillé au Centre national de la recherche scientifique (CNRS) à Paris.

Fractales 3D
2 octobre 2010, par Dominic Rochon   [retour au début des forums]
Fractales 3D

Je vous propose le site Web suivant pour les fractales 3D (Le Tétrabrot).

www.3dfractals.com

Erratum :

L’ensemble de Julia par Nylander et moi-même est généré par l’algorithme suivant : z^(1/2)+c où z et c sont des variables bicomplexes.

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