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Grigori Perelman, prix du Millénaire en maths
Si c’est rond, c’est point carré. C’est tout c’qu’il fallait démontrer

samedi 20 mars 2010, par rocbo

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Grigori Perelman a été récompensé jeudi par le Clay Mathematics Institute pour avoir résolu la conjecture de Poincaré, l’un des sept problèmes les plus difficiles en maths au tournant du millénaire. Pour avoir résolu ce problème, Perelman avait déjà été récompensé en 2006 par la médaille Fields, considérée comme l’équivalent du prix Nobel en mathématiques. Mais, il refusa la médaille.

Décrit par ses collègues comme timide, ne pensant qu’au travail, cet expert en "topologie géométrique" a travaillé pendant de nombreuses années et trouvé la solution de la conjecture de Poincaré en 2002. Au lieu de publier dans la presse scientifique, Perelman dépose le 11 novembre 2002, les 39 pages de sa démonstration - sans aucun commentaire - sur une plateforme gratuite, destinée aux scientifiques. Perelman a choisi de s’isoler de la communauté scientifique et n’accorde pratiquement jamais d’interview, rappelle le quotidien en ligne moscovite Gazeta.ru. "Il est possible qu’il réagisse de la même façon que pour la médaille Fields".

Rappel
En 1904, le mathématicien français Henri Poincaré a mis au point un test permettant de dire si une forme quelconque est une sphère de trois dimensions. La conjecture s’énonce ainsi :
« Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. »
Poincaré ajouta ce commentaire : « mais cette question nous entraînerait trop loin ». Pendant un siècle, les mathématiciens se sont cassés les dents pour prouver que ce test fonctionnait.

La topologie a des applications dans de nombreux domaines et la découverte de Perelman pourrait avoir des répercussions dans la fabrication des puces et autres appareils électroniques utilisés pour les transports ou encore la recherche sur le cerveau.

Les débuts de la topologie
Point de départ de la topologie moderne, Leonhard Euler étudie, en 1736, le problème des sept ponts de Königsberg. Existe-t-il un parcours dans les rues de Königsberg permettant, à partir d’un point de départ au choix, de passer une et une seule fois par chaque pont et de revenir à son point de départ ? Une telle promenade n’existe pas et c’est Euler qui donna la solution de ce problème en caractérisant les graphes que l’on appelle aujourd’hui « eulériens ». Le travail d’Euler est considéré comme l’un des premiers résultats de géométrie qui ne dépend d’aucune mesure, c’est-à-dire l’un des premiers résultats topologiques. Le terme « topologie », fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans Vorstudien zur Topologie.

 

Möbius, Boy et Klein

Le ruban de Möbius (aussi appelé bande ou anneau) est une surface fermée ne possèdant qu’une seule face contrairement à un ruban classique qui en possède deux. Cette surface, réglée et non-orientable, a été décrite indépendamment en 1858 par les mathématiciens AF. Möbius et JB. Listing .

Le ruban de Möbius peut apparaître comme un objet mathématique ou une construction artistique. Cette disposition était souvent utilisé au 19e siècle lorsque les machines fonctionnaient à partir de courroies. Les courroies étaient croisées à la jonction afin d’user les "2 côtés" de la courroieu. La description du ruban de Möbius fera appaître que la courroie n’avait qu’un seul côté.

En 1902 un jeune étudiant, Werner Boy, fait part -a son maître, le mathématicien David Hilbert, d’une curieuse surface qu’il vient de découvrir. Mais c’est la veille des vacances d’été et Hilbert, tout en emportant les notes de Boy, promet de lui donner son avis -a la rentrée. Il ne pourra jamais le faire car Boy disparaît mystérieusement et aujourd’hui encore, plus de cent ans après, nul de sait ce qu’il est devenu. La surface de Boy peut être construite en recollant le bord d’un disque sur le bord d’un ruban de Möbius.

Le nom de la surface, « bouteille de Klein », provient en fait d’une erreur de traduction de l’expression allemande Kleinsche Fläche (« surface de Klein »). Il y a eu en effet une confusion entre Fläche (« surface ») et Flasche (« bouteille »). Le terme fautif s’est imposé, y compris en allemand, où l’on utilise maintenant le terme Kleinsche Flasche. La bouteille de Klein peut être obtenue par recollement de deux rubans de Möbius le long de leurs bords.

Pour en savoir [un peu] plus :
Grigori Perelman et la conjecture de Poincaré : la résolution d’un problème centenaire. Un fichier PDF de Pascal Lambrechts accessible sur le site de l’Université catholique de Louvain

-o0O0o-

Pour terminer, une animation qui nous plonge dans l’univers impossible de Maurits Cornelis Escher et lui donne vie.

 

Liens
- Grigori Perelman sur Wikipédia
- Conjecture de Poincaré sur Wikipédia
- Topologie sur Wikipédia
- Grigori Perelman et la conjecture de Poincaré (PDF)

 



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