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Présentation d'un thème sur les courbes de Bézier en classe de terminale S

auteur : Claude PELCERF, http://www.ac-reunion.fr/pedagogie/lyllgp/maths/dosbez1.htm

 

CLASSES CONCERNÉES

Les classes de terminales scientifiques, spécialité mathématiques. Les classes de techniciens supérieurs.

BUTS PÉDAGOGIQUES

Enseigner les mathématiques suivant les commentaires du programme, en intégrant l'outil informatique.

Mettre les élèves en situation de recherche pour:

Favoriser leur activité face à un problème scientifique.

Développer leur sens d'observation.

Les aider à "comprendre" intuitivement et à conjecturer.

Mettre en oeuvre, dans un même devoir, plusieurs chapitres.

MOYENS

Un club "mathématiques et informatique", ouvert aux élèves volontaires de terminales S du Lycée Lislet Géoffroy, à Saint-Denis de la Réunion, deux heures par semaine, en dehors de l'horaire de la classe.

Salle informatique équipée de 17 postes, compatibles PC, d'une table traçante et de quatre imprimantes.

Logiciels :

    Tableur:

    Excel 3 ou suivant

    Traceur de courbes:

    Graph'X.

    Traceur de courbes:

    Multigraph.

    Constructions géométriques:

    Géo-Problèmes.
    Cabri.
    L'atelier de géométrie.
    Kappa.

    Calcul formel:

    Maple V.
    Dérive.

    Traitement de texte:

    Word.

ORGANISATION DES SÉANCES DE TRAVAIL

Le dossier suivant, intitulé "les courbes de Bézier" est distribué aux élèves, sans commentaires particuliers.
Temps nécessaires aux élèves: entre 2 et 3 séances de 2 heures suivant les groupes.
La quatrième partie est d'après un sujet de BTS Informatique Industrielle 1990.

 

 

DOSSIER: LES COURBES DE BÉZIER

 

But

Initiation à la C.A.O. (Conception Assistée par Ordinateur)

Moyens

Utilisation des logiciels Géo-Problèmes (Constructions géométriques) et Graph'X (Construction de courbes et transformations).

Notions de mathématiques nécessaires

    - Les barycentres.
    - Les courbes en coordonnées paramétriques.
    - Les similitudes.

Présentation

Vers 1962, M.. Pierre Bezier, ingénieur chez Renault, met au point une méthode pour obtenir des courbes ou des surfaces. Cette méthode devant être utilisable dans un ordinateur, elle doit être "simple" et "algorithmique".

 

 

PREMIÈRE PARTIE : La partie géométrique

L'idée directrice est de tracer une courbe en déplaçant le barycentre d'un système de points, appelés points de contrôle. En modifiant la position des points de contrôle, on déforme la courbe jusqu'à obtention du profil recherché.

Étape n°1:
En utilisant Géo-Problème construire le barycentre A des points M1 affecté du coefficient (1-t) et M2 affecté du coefficient t, t étant un réel de [0;1].
Cahier des charges: Vous aurez réalisé le contrat lorsque vous aurez "inventé" le moyen de faire varier le réel t, en utilisant uniquement la souris, le déplacement de la souris faisant se déplacer le barycentre A, toutes conditions respectées.

Étape n°2:
On donne les 3 points de contrôle M1, M2, M3.
Construire les points

    A1 barycentre de M1(1-t) et M2(t)
    A2 barycentre de M2(1-t) et M3(t)
    A3 barycentre de A1(1-t) et A2(t).

On cherche à déterminer le lieu géométrique du point A3: En utilisant toutes les possibilités de Géo-Problème, conjecturez les propriétés de la courbe relativement aux segments [M1;M2], [M2;M3], [A1;A2].

 

DEUXIÈME PARTIE : Équation des courbes obtenues avec 3 points de contrôle

Étape n°3:

  • En déduire les équations paramétriques de la courbe de Bezier associée à 3 points de contrôle. ( est dite courbe de Bezier de degré 2).
  • Utilisez Graph'X pour dessiner les courbes de Bezier associées aux points
    • a) M0(-5;5), M1(0;0) et M2(5;5).
    • b) M0(5;-5), M1(0;0) et M2(5;5).
    • c) M0(0;3), M1(2;2) et M2(4;3).

Étape n°4:

  • Démontrez, dans les exemples ci-dessus, que la courbe de Bezier de degré 2 est un arc de parabole.
  • Démontrez que cette courbe est tangente à M0M1, à M1M2, à A1A2.

 

TROISIÈME PARTIE :

Étape n°5:

  • En itérant le procédé de construction du dernier point servant à la construction de la courbe de Bezier de degré 2, construire un arbre de choix vous indiquant tous les barycentres nécessaires dans le cas de 4 points de contrôle M1, M2, M3 et M4.
  • Visualiser, à l'aide de Géo-Problèmes, des courbes de Bezier dans le cas de 4 points de contrôle.

Étape n°6:

Étape n°7:

  • Donnez les équations paramétriques d'une courbe de Bezier d'ordre 3. (Quatre points de contrôle).
  • Tracez la courbe de Bezier associée aux 4 points M1(0;0), M2(1;-1), M3(3;2) et M4(4;1).
  • Utilisez Graph'X (ou tout autre tableur comme Excel par exemple) pour tracer quelques courbes de Bezier d'ordre 3. En particulier, on pourra essayer de "voir" si l'ordre des points de contrôle intervient. Peut-on prendre plusieurs fois le même point?

 

QUATRIÈME PARTIE : application

Déterminer une modélisation d'une forme graphique plane (F) obtenue à partir de transformations successives d'un motif de base (F0).

A. Réalisation du motif de base.

1°) Soit (Lo) la courbe de Bezier définie par les 3 points de contrôle successifs O(0;0), Ao(3;12) et Bo(0;9).
Déterminer la représentation paramétrique de (Lo), étudier les variations des fonctions qui définissent (Lo). Montrer que la droite (OAo) est tangente en O à (Lo) et que (BoAo) est tangente en Bo à (Lo). Représenter (Lo).
2°) Soit (Lío) la courbe de Bezier définie par 3 points de contrôle successifs O, A'o (a;b), Bo. Déterminer les réels a et b pour que:

    - (Lío) admette une tangente parallèle à l'axe des ordonnées au point d'abscisse -1.

    - (Lío) admette (BoAo) comme tangente en Bo.

En déduire une représentation paramétrique de (Lío).
Montrer que (OA'o) est tangente en O à (Lío).
Montrer que les points A'o, Bo, Ao sont alignés et que la droite (A'oAo) est tangente en Bo aux deux courbes (Lío) et (Lo).
Représenter (Lío) sur le même graphique que (Lo).
On appelle "feuille" le motif Fo la réunion des 2 courbes (Lo) et (Lío).

B. Réalisation de la forme.

La forme graphique que l'on désire réaliser est constituée de 6 feuilles Fo, F1, F2, F3, F4 et F5. La feuille Fo est le motif de base réalisé dans la partie A. Pour k entier naturel, tel que 1<= k <= 5, la feuille Fk est la transformée de Fk-1 par une similitude S de centre O, d'angle a, a strictement positif et strictement inférieur à Pi, et de rapport R.

  1. Détermination de la similitude S: Calculez R et a sachant que B3 à pour coordonnées (0;-243/64). En déduire l'expression complexe et l'expression analytique de la similitude S.
  2. Utiliser Graph'x pour dessiner la forme graphique demandée.

Remarque concernant Graph'x : pour dessiner l'image d'une courbe par une transformation plane, il suffit de dessiner en courbe numéro i la courbe initiale, de donner en courbe i +1, l'expression analytique de la transformation en remplaçant les coordonnées (x;y) par (xi;yi).

 

QUELQUES INDICATIONS DE CORRECTION

Pour les étapes 1 et 2 de la première partie, on utilise Géo-problèmes.
Le point T est un élément variable du segment [X ; Y]. Il suffit de choisir t = distance (X;T) et 1 - t = distance (T;Y).
(invariance du barycentre par multiplication des coefficients par une constante non nulle.)
On clique sur le point T avec la souris. Il suffit alors de déplacer le point T pour faire varier t. Si T = X alors t = 0. Si T = Y alors t = 1.
L'option "lieu géométrique" de Géo-problèmes permet de visualiser de lieu du "dernier" An qui représente la courbe de Bézier associée.

 

Copie d'écran pour 3 points de contrôles

 

Copie d'écran pour 4 points de contrôles

 

Copie d'écran pour 4 points de contrôles

 

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