Présentation d'un thème sur les courbes de Bézier
en classe de terminales S

auteur : Claude PELCERF

http://www.ac-reunion.fr/pedagogie/lyllgp/maths/dosbez1.htm

CLASSES CONCERNÉES
Les classes de terminales scientifiques, spécialité mathématiques. Les classes de techniciens supérieurs.
BUTS PÉDAGOGIQUES
Enseigner les mathématiques suivant les commentaires du programme, en intégrant l'outil informatique.
Mettre les élèves en situation de recherche pour:
	Favoriser leur activité face à un problème scientifique.
	Développer leur sens d'observation.
	Les aider à "comprendre" intuitivement et à conjecturer.
	Mettre en oeuvre, dans un même devoir, plusieurs chapitres.
MOYENS
	Un club "mathématiques et informatique", ouvert aux élèves volontaires de terminales S du Lycée Lislet Géoffroy, à Saint-Denis de la Réunion, deux heures par semaine, en dehors de l'horaire de la classe.
	Salle informatique équipée de 17 postes, compatibles PC, d'une table traçante et de quatre imprimantes.
	Logiciels :
	Tableur: Excel 3 ou suivant Traceur de courbes: Graph'X. Traceur de courbes: Multigraph. Constructions géométriques: Géo-Problèmes. Cabri. L'atelier de géométrie. Kappa. Calcul formel: Maple V. Dérive. Traitement de texte: Word.
ORGANISATION DES SÉANCES DE TRAVAIL
Le dossier suivant, intitulé "les courbes de Bézier" est distribué aux élèves, sans commentaires particuliers. Temps nécessaires aux élèves: entre 2 et 3 séances de 2 heures suivant les groupes. La quatrième partie est d'après un sujet de BTS Informatique Industrielle 1990.

DOSSIER: LES COURBES DE BEZIER

But

Initiation à la C.A.O. (Conception Assistée par Ordinateur)

Moyens

Utilisation des logiciels Géo-Problèmes (Constructions géométriques) et Graph'X (Construction de courbes et transformations).

Notions de mathématiques nécessaires

- Les barycentres.
- Les courbes en coordonnées paramétriques.
- Les similitudes.

Présentation

Vers 1962, M.. Pierre Bezier, ingénieur chez Renault, met au point une méthode pour obtenir des courbes ou des surfaces. Cette méthode devant être utilisable dans un ordinateur, elle doit être "simple" et "algorithmique".

PREMIERE PARTIE : La partie géométrique

L'idée directrice est de tracer une courbe en déplaçant le barycentre d'un système de points, appelés points de contrôle. En modifiant la position des points de contrôle, on déforme la courbe jusqu'à obtention du profil recherché.

Etape n°1:

En utilisant Géo-Problème construire le barycentre A des points M₁ affecté du coefficient (1-t) et M₂ affecté du coefficient t, t étant un réel de [0;1].

Cahier des charges: Vous aurez réalisé le contrat lorsque vous aurez "inventé" le moyen de faire varier le réel t, en utilisant uniquement la souris, le déplacement de la souris faisant se déplacer le barycentre A, toutes conditions respectées.

Etape n°2:

On donne les 3 points de contrôle M₁, M₂, M₃.

Construire les points

A₁ barycentre de M₁(1-t) et M₂(t)
A₂ barycentre de M₂(1-t) et M₃(t)
A₃ barycentre de A₁(1-t) et A₂(t).

On cherche à déterminer le lieu géométrique du point A₃: En utilisant toutes les possibilités de Géo-Problème, conjecturez les propriétés de la courbe relativement aux segments [M₁;M₂], [M₂;M₃], [A₁;A₂].

DEUXIEME PARTIE :

Equation des courbes obtenues avec 3 points de contrôle

Etape n°3:

• En déduire les équations paramétriques de la courbe de Bezier associée à 3 points de contrôle. ( est dite courbe de Bezier de degré 2).
• Utilisez Graph'X pour dessiner les courbes de Bezier associées aux points
  • a) M₀(-5;5), M₁(0;0) et M₂(5;5).
  • b) M₀(5;-5), M₁(0;0) et M₂(5;5).
  • c) M₀(0;3), M₁(2;2) et M₂(4;3).

Etape n°4:

• Démontrez, dans les exemples ci-dessus, que la courbe de Bezier de degré 2 est un arc de parabole.
• Démontrez que cette courbe est tangente à M₀M₁, à M₁M₂, à A₁A₂.

TROISIEME PARTIE :

Etape n°5:

• En itérant le procédé de construction du dernier point servant à la construction de la courbe de Bezier de degré 2, construire un arbre de choix vous indiquant tous les barycentres nécessaires dans le cas de 4 points de contrôle M₁, M₂, M₃ et M₄.
• Visualiser, à l'aide de Géo-Problèmes, des courbes de Bezier dans le cas de 4 points de contrôle.

Etape n°6:

Etape n°7:

• Donnez les équations paramétriques d'une courbe de Bezier d'ordre 3. (Quatre points de contrôle).
• Tracez la courbe de Bezier associée aux 4 points M₁(0;0), M₂(1;-1), M₃(3;2) et M₄(4;1).
• Utilisez Graph'X (ou tout autre tableur comme Excel par exemple) pour tracer quelques courbes de Bezier d'ordre 3. En particulier, on pourra essayer de "voir" si l'ordre des points de contrôle intervient. Peut-on prendre plusieurs fois le même point?

QUATRIEME PARTIE : application

On vous propose de déterminer une modélisation d'une forme graphique plane (F) obtenue à partir de transformations successives d'un motif de base (F₀).

A. Réalisation du motif de base.

1°) Soit (L_o) le courbe de Bezier définie par les 3 points de contrôle successifs O(0;0), A_o(3;12) et B_o(0;9).

Déterminer la représentation paramétrique de (L_o), étudier les variations des fonctions qui définissent (L_o). Montrer que la droite (OA_o) est tangente en O à (L_o) et que (B_oA_o) est tangente en B_o à (L_o). Représenter (L_o).

2°) Soit (Lí_o) la courbe de Bezier définie par 3 points de contrôle successifs O, A'_o (a;b), B_o. Déterminer les réels a et b pour que:

- (Lí_o) admette une tangente parallèle à l'axe des ordonnées au point d'abscisse -1.

- (Lí_o) admette (B_oA_o) comme tangente en B_o.

En déduire une représentation paramétrique de (Lí_o).

Montrer que (OA'_o) est tangente en O à (Lí_o).

Montrer que les points A'o, Bo, Ao sont alignés et que la droite (A'oAo) est tangente en Bo aux deux courbes (Lío) et (Lo).

Représenter (Lío) sur le même graphique que (Lo).

On appelle "feuille" le motif F_o la réunion des 2 courbes (L_o) et (Lí_o).

B. Réalisation de la forme.

La forme graphique que l'on désire réaliser est constituée de 6 feuilles F_o, F₁, F₂, F₃, F₄ et F₅. La feuille F_o est le motif de base réalisé dans la partie A. Pour k entier naturel, tel que 1<= k <= 5, la feuille F_k est la transformée de F_k-1 par une similitude S de centre O, d'angle a, a strictement positif et strictement inférieur à Pi, et de rapport R.

1. Détermination de la similitude S: Calculez R et a sachant que B₃ à pour coordonnées (0;-243/64). En déduire l'expression complexe et l'expression analytique de la similitude S.
2. Utiliser Graph'x pour dessiner la forme graphique demandée.

Remarque concernant Graph'x : pour dessiner l'image d'une courbe par une transformation plane, il suffit de dessiner en courbe numéro i la courbe initiale, de donner en courbe i +1, l'expression analytique de la transformation en remplaçant les coordonnées (x;y) par (xi;yi).

QUELQUES INDICATIONS DE CORRECTION

Pour les étapes 1 et 2 de la première partie, on utilise Géo-problèmes.

Le point T est un élément variable du segment [X ; Y]. Il suffit de choisir t = distance (X;T) et 1 - t = distance (T;Y).

(invariance du barycentre par multiplication des coefficients par une constante non nulle.)

On clique sur le point T avec la souris. Il suffit alors de déplacer le point T pour faire varier t. Si T = X alors t = 0. Si T = Y alors t = 1.

L'option "lieu géométrique" de Géo-problèmes permet de visualiser de lieu du "dernier" A_n qui représente la courbe de Bézier associée.

Copie d'écran pour 3 points de contrôles

Copie d'écran pour 4 points de contrôles

Copie d'écran pour 4 points de contrôles

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